A DERIVADA
A minha proposta neste artigo é desvendar todo este mistério que se faz em torno da DERIVADA. Vou tentar da maneira mais simples possivel, e contando um pouco da história, explicar o conceito da DERIVADA.
Quando pensamos em derivada, pensamos, logo de início, que é alguma coisa complicadíssima, pelo menos é este conceito que nos é passado quando iniciamos o estudo de derivadas em qualquer curso de graduação. E mais, achamos que é um recurso que nunca iremos precisar. Então para que aprendermos? Apenas para podermos concluir um curso de graduação? Apenas para dizermos aos outros que aprendemos derivada? Pois então fiquem sabendo que tudo isto é um grande erro. É tão fácil entendermos o conceito de derivada, que quando conseguimos entender, damos risadas. Eu era um dos que pensavam assim, e só mudei este conceito quando, após concluir a graduação, me deparo com problemas que somente com a utilização do recurso e o conceito de derivadas é possível resolve-los. Um engenheiro que não entendeu o que é derivada está fadado a ser sempre um simples usuário de recursos alheios, seja através de softwares de cálculos, seja através de cálculos de outros engenheiros. Basta ter um pouco de paciência, e ler um pouco de história, que rapidamente entendemos de onde vem este conceito.
HISTÓRIAS DA MATEMÁTICA
“O PROBLEMA DA TANGENTE”
A partir do século XVII, quando RENEE DESCARTES E PIERRE FERMAT introduziram as coordenadas cartesianas, tornou-se possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estuda-los analiticamente.
Renee Descartes Pierre Fermat
A Matemática recebeu assim um grande impulso, principalmente na sua aplicação a outras ciências. Os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o " Problema da Tangente". O problema é que ficou difícil sustentar a tese de que a tangência seria definida como: “ A reta que intercepta a circunferência, ou uma função qualquer, em apenas um ponto”.
Como podemos verificar pelo gráfico abaixo, a coisa não é bem assim.
Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q1 sobre a curva; considerou a reta PQ1 secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q1 ao longo da curva em direcção a P, obtendo deste modo retas PQ3 que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P. A aproximação do ponto Q1 ao ponto P era tão próxima, mas tão próxima que tendia a zero, ou um diferencial nulo entre P e Q1.
Desta forma estava resolvido geometricamente o problema da definição de tangente. Surgia então o embrião do conceito de
DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial".
Pierre Simon Laplace
“O CÁLCULO DIFERENCIAL”
Leibniz, analisa o conceito de Fermat e algebriza o Cálculo Infinitésimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor possível das diferenças em x e em y (aproximação do ponto P e Q1, no gráfico anterior). Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como " Cálculo Diferencial ".
Wilhelm Leibniz
Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.
Augustin Cauchy
Isaac Newton
Para definir o conceito de derivada, pensamos no seguinte: A derivada de um ponto qualquer, em uma função qualquer, é igual à tangente do ângulo formado pela reta que passa por este ponto. Derivada nada mais é do que um numero, adimensional, que representa uma proporção de variação de uma variável “y” em relação a uma outra variável “x”. Por isto recebe a notação dy/dx. Vejamos o que é isto graficamente.
A derivada do ponto “a”, da função “g”, é a tangente do ângulo de inclinação da reta “r” (60°), que nada mais é do que o coeficiente angular da reta “r”. Este número (coeficiente angular) nos indica exatamente como “x” está variando em relação a “y”, no ponto “a”. Isto é o que se pode chamar de “Taxa de Variação instantânea”. Note que este conceito pode ser transportado para o nosso dia a dia, como por exemplo, a variação da velocidade em relação ao tempo, a variação do mercado imobiliario em relação aos investimentos, a variação de uma determinada temperatura em relação ao tempo. Então concluimos que derivada, na sua forma mais simples, nada mais é do que a
proporção em que varia uma determinada variável em relação a outra variável.
É claro que isto está resumido de uma forma muito simplória, apenas para podermos dar um Start ao estudo das derivadas. O objetivo deste artigo era somente definir da forma mais simples possível o conceito de DERIVADA, mesmo porque ficaria bastante extenso colocar aqui todo o estudo do assunto, em meus próximos artigos vou mostrar, tambem de uma forma bastante simples, o que Leibniz e Newton pensaram e deduziram matematicamente quando estudaram a definição de tangente de Fermat e como demonstraram algebricamente o “Cálculo infinitesimal”, abreviadamente chamado de “Cálculo”.
Exame da OAB de 2012 (Foto: Hélder Rafael/G1 MS)
